Mathematik für Informatiker: Mit Anwendungen in der by Rolf Socher

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Viele Studierende argumentieren nun so: Ich habe aus der Behauptung des Satzes etwas Wahres abgeleitet, also ist der Satz wahr. Aber das stimmt nicht! Das, was da steht, ist in dieser Form kein Beweis für unseren Satz! Warum nicht? Schauen wir uns die logische Struktur an. Wir starteten mit der Aussage 1-- ( a + b ) ≥ ab . Nennen wir diese Aussage p. Aus p haben wir in meh2 reren Schritten die wahre Aussage ( a – b ) 2 ≥ 0 abgeleitet. Das ist aber leider überhaupt nichts wert, denn man kann aus jeder beliebigen Aussage eine wahre Aussage ableiten.

Wegen ¬p → 0 ⇔ ¬¬p ∨ 0 ⇔ p haben wir die Aussage p bewiesen. Beachten Sie, dass auch dieser Beweis nach der Reihenfolge vorgeht, in der der Beweis intuitiv gefunden wurde. Beweis durch vollständige Induktion Der Beweis durch vollständige Induktion (kurz Induktionsbeweis) ist ein spezielles Beweisverfahren, das eng an die Struktur der Menge der natürlichen Zahlen angelehnt ist und nur auf Sätze der Form „Für alle natürlichen Zahlen gilt: …“ anwendbar ist. 8 auf Seite 36 mittels Fallunterscheidung bewiesen haben.

Dann ist M′ eine Menge, die sich selbst als Element enthält, und als solche kein Element von M′. Widerspruch! Dieses Paradoxon ist von Bertrand Russell 1902 formuliert worden und wird als russellsche Antinomie1 bezeichnet. Eine populäre Version dieses Paradoxons ist unter dem Namen Barbier-Paradoxon bekannt: Im Schaufenster eines Barbierladens steht ein Schild: Ich rasiere alle Männer des Dorfs, die sich nicht selbst rasieren. Rasiert sich der Barbier selbst? Egal, ob er sich selbst rasiert oder nicht, stets entsteht ein Widerspruch.

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