Lectures on elementary mathematics by J L. 1736-1813 Lagrange, Thomas J. 1865-1932 McCormack

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By J L. 1736-1813 Lagrange, Thomas J. 1865-1932 McCormack

One of many 18th century's maximum mathematicians, Lagrange made major contributionsto research and quantity concept. He brought those lectures on mathematics, algebra, and geometry at theÉcole Normale, a coaching tuition for academics. An exemplar between user-friendly expositions, they characteristic either originality of inspiration and magnificence of expression.

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10,a dargestellt. 10,b). Diese beiden grundsätzlich verschiedenen Methoden müssen im folgenden genauer erörtert werden. 10,a dargestellten Struktur werden die von der Arbeitsvorbereitung vorgegebenen Paare von Werkzeugpositionen mit zugehörigen Orientierungen nach der optionalen Veränderung der Werkzeuggeometrie zunächst in die entsprechenden Achspositionen transformiert. Mit geeigneten Algorithmen wird daraus für jede Achse ein Spline berechnet. Zur Reduzierung des kinematischen Fehlers werden bei großen Richtungsänderungen Zwischenpunkte eingefügt.

Wegen der direkten Interpolation der von der Arbeitsvorbereitung vorgegebenen Bahn ermöglicht dieses Verfahren eine sehr hohe Bahngenauigkeit /57/. Die Rückwärtstransformation vom Werkstückkoordinatensystem in das Koordinatensystem der Maschinenachsen ist in jedem Interpolationsschritt unter Echtzeitbedingungen durchzuführen. 2 sind die für die fünfachsige Bearbeitung interessierenden Eigenschaften der diskutierten Interpolationsstrukturen dargestellt. Zum Vergleich sind diejenigen der Linearinterpolation nach DIN 66025 ebenfalls aufgeführt.

Der Bahnvorschub ist unter Berücksichtigung der dynamischen Eigenschaften der drei linearen sowie der beiden rotatorisehen Achsen möglichst auf dem programmierten Wert konstant zu halten. Abgesehen von dem generellen Problem der Realisierung einer konstanten Bahngeschwindigkeit bei Splines, das noch diskutiert wird, stellt eine Interpolation von Splines für Maschinenachsen unter Echtzeitbedingungen bei bekanntem Grad des Splines keine besonderen Anforderungen hinsichtlich Algorithmen und erforderlicher Rechenleistung.

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