Komplexe Analysis für Ingenieure Band 2 by P. Henrici, R. Jeltsch

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By P. Henrici, R. Jeltsch

Die Theorie der komplexen Funktionen wird im Hinblick auf die den Ingenieur interessierenden Anwendungen entwickelt. Dementsprechend wird das intuitive Erfassen von Tatsachen und Begriffen in den Vordergrund gestellt und Beweisf?hrungen werden nur gebracht, soweit sie zum anschaulichen Verst?ndnis des Stoffes beitragen. Dieser erste Band enth?lt den Begriff der komplexen Funktionen, der analytischen Funktionen, der konformen Abbildung. Die wichtigsten komplexen Funktionen werden auf ihr Abbildungsverhalten hin ausf?hrlich untersucht. Es wird eine Methode entwickelt, die mit Hilfe konformer Abbildung ebene Potentialprobleme l?st.

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A 1Z + aO , ZEC, ein beliebiges Polynom vom Grade n >- 1 mit komplexen Koeffizienten ao, ab ... ::;6 O. Wir nehmen nun an, es sei p (z) ::;6 0 für alle z E C. Die Funktion f:z ~ 1 p(z) f(z):=- ist dann in der ganzen komplexen Ebene definiert und als Reziproke einer analytischen Funktion analytisch. Für den 54 5. Komplexe Integration Betrag von [ gilt lim 1[(z)1 = lim z ...... oo z->oo . -lZ 1 n_l + ... + a1z + aol 1 la,. zn l\l + an - 1 + ... zn =0 ·1 =0. Wie wir sehen, senkt sich die Betragsftäche von [ für z ~ 00 auf die (x, y)-Ebene hinab.

G ist analytisch in dem zweifach zusammenhängenden Gebiet G', das durch Entfernen des Punktes a aus dem Gebiet G entsteht: G':=G-{a}. Weiter bezeichne rr den Kreis vom Radius r um a, orientiert im positiven Sinn (s. Fig. 3c). h. r Jr f(z) dz = z-a i, i g(z) dz, f(z) dz. ,z-a (1) 44 5. Komplexe Integration Indem wir im rechtsstehenden Integral den Integrationsweg r r parametrisieren, rr: t~ z(t):=a+reir, 0

Beziehung (4) bedeutet, dass die Taylor-Reihe konvergiert und die Funktion [ darstellt. Gemäss Herleitung gilt (4) innerhalb des Kreises vom Radius r um a, wobei r der Abstand von a zur Kurve r ist. Wie man sieht, hängt die 62 5. Komplexe Integration Gestalt der Taylor-Reihe nur von fund a ab, nicht aber von r. Daher kann nun der wahre Konvergenzbereich der Taylor-Reihe auch nur von fund a abhängig sein. Welches ist also der wahre Konvergenzbereich der Taylor-Reihe? Bei der Herleitung von (4) kann als Integrationsweg r insbesondere ein beliebiger Kreis um a gewählt werden, der mitsamt seinem Inneren zu G gehört.

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