Höhere Mathematik für Ingenieure: Band I Analysis by Prof. Dr. rer. nat. Klemens Burg, Prof. Dr. rer. nat.

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By Prof. Dr. rer. nat. Klemens Burg, Prof. Dr. rer. nat. Herbert Haf, Prof. Dr. rer. nat. Friedrich Wille (auth.), Prof. Dr. rer. nat. Herbert Haf (eds.)

Inhalt
Grundlagen: Reelle Zahlen - Elementare Kombinatorik - Funktionen - Unendliche Folgen reeller Zahlen - Unendliche Reihen reeller Zahlen - Stetige Funktionen - Elementare Funktionen: Polynome - purpose und algebraische Funktionen - Trigonomentrische Funktionen - Exponentialfunktionen, Logarithmus, Hyperbelfunktionen - Komplexe Zahlen - Differentialrechnung einer reellen Variablen: Grundlagen der Differentialrechnung - Ausbau der Differentialrechnung - Anwendungen - Integralrechnung einer reellen Variablen - Grundlagen der Integralrechnung - Berechnung von Integralen - Uneigentliche Integrale - Anwendung: Wechselstromrechnung - Folgen und Reihen von Funktionen: Gleichm??ige Konvergenz von Funktionenfolgen und -reihen - Potenzreihen - Fourier-Reihen - Differentialrechnung mehrerer reeller Variabler: Der n-dimensionale Raum IRn - Abbildungen im IRn - Differenzierbare Abbildungen von mehreren Variablen - Gleichungssysteme, Extremalprobleme, Anwendungen - Integralrechnung, mehrerer reeller Variabler: Integration bei zwei Variablen - Allgemeinfall: Integration bei mehreren Variablen - Parameterabh?ngige Integrale L?sungen zu den ?bungen

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H. 2" > n ist für alle natürlichen n gültig. Entscheidend ist also, daß wir die Schritte I (Beweis für n = 1) und II (Schluß von n auf n + 1) durchführen können. Das führt allgemein zu folgendem Beweisschema, welches sich von unserem Beispiel nur dadurch unterscheidet, daß die Aussage ,,2" > n" durch A( n) ersetzt wird. Vollständige Induktion Für jedes natürliche n sei eine Aussage A( n) definiert. Man weise nun nach, (I) daß A( 1) richtig ist, und (II) daß aus der Annahme, daß A( n) richtig ist, auch die Gültigkeit von A( n + 1) folgt.

1. 7 Rechteck und Kreis ein, so entspricht jedem Punkt der Ebene genau ein Zahlenpaar (x, y), wobei x die x-Koordinate heißt und y die y-Koordinate (s. Fig. 6)4). Wir nennen Zahlen paare daher auch Punkte (der Ebene) und bezeichnen die Menge aller dieser Zahlenpaare als ]R 2. Ein Rechteck, wie in Fig. 7 zu sehen, besteht aus allen Punkten (x,y), für die und gilt. Nennen wir die Menge dieser Punkte kurz R (Rechteck), so können wir schreiben R = {(x, y) E ]R2 I a ~ x ~ bund c ~ y ~ d}. Betrachten wir noch ein Beispiel, und zwar eine Kreisscheibe um Q = (0,0) mit Radius 1, s.

3). Man kann aber alle übrigen Fälle, ausgenommen Variationen mit Wiederholungen, als Spezialfälle von Permutationen mit Identifikationen ansehen, wenn man sie geeignet interpretiert. 1 Beispiele Viele Vorgänge in Naturwissenschaft und Technik werden durch "Funktionen" beschrieben. B. einen Schlüssel von einem Turm (s. Fig. 15)), so ist er nach t Sekunden s Meter gefallen. (Dies ist streng genommen nur im Vakuum richtig. ) S2 Für jede Falldauer t können wir nach obiger Gleichung die FallFig. 15 Zum Fallgesetz strecke s berechnen.

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