Einführung in die Algebra by Udo Vetter

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In diesem Fall ist {x1 , . . , xr } die Gesamtheit der Nullstellen von f in R, und die Faktoren in der Darstellung (∗) sind eindeutig bestimmt. Beweis. 11 durch Induktion u¨ ber den Grad von f unter Verwendung der Gradformel, aus der dann auch ∑ r grad( f ) folgt. i=1 m i R sei jetzt ein Integrit¨atsbereich. Ist a ∈ R eine Nullstelle von f , dann muß wegen g(a) ̸= 0 einer der u¨ brigen Faktoren auf der rechten Seite von (∗) in a verschwinden. D. h. aber a ∈ {x1 , . . , xr }. Ebenso erh¨alt man, daß der Faktor X − xi in jeder Darstellung von f der Form (∗) vorkommen muß.

X p−1 . Dann ist f irreduzibel in Z[X ]. Beweis. Es ist (X − 1) f = X p − 1. Mittels der Substitution X → X + 1 erh¨alt man aus dieser Gleichung Xg = (X + 1) p − 1, g = 1 + (X + 1) + ... + (X + 1) p−1 , also ( ) ( ) p p p−1 Xg = X + X + ... + X 1 p−1 ( ) p = X (X p−1 + p X p−2 + . . + ). p−1 p Auf g l¨aßt sich das Eisenstein-Kriterium mit u = p anwenden: g ist irreduzibel. Wir geben kurz zwei weitere Methoden an, die Irreduzibilit¨at von Polynomen zu testen. 1. Methode der unbestimmten Koeffizienten.

R[X ] f ), ist aber von m+1 i m 0 i=0 bi X kleinerem Grad als f m+1 im Widerspruch zur Wahl von f m+1 . 8 ¨ Polynome uber Integrit¨atsbereichen Wir haben bereits in Abschnitt 7 Aussagen u¨ ber Polynome mit Koeffizienten in Integrit¨atsbereichen bewiesen. In diesem Abschnitt stellen wir einige Irreduzibilit¨atskriterien zusammen. Leicht zu beantworten ist die folgende Frage: Wie ver¨ halten sich Primelemente in Integrit¨atsbereichen R beim Ubergang zu R[X ]? 1. R sei Integrit¨atsbereich, u ∈ R.

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