# Einführung in die Algebra by Heinz Lüneburg (auth.)

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By Heinz Lüneburg (auth.)

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Ist G eine Gruppe und U eine Untergruppe von G, so ist die Relation der Rechtskongruenz modulo U eine ~quivalenzrelation. Beweis. a) Ist a E -1 G, so ist aa =e E U, da U ja eine Untergruppe ist. Also ist a =r a rod U. b) Sim a,b E G und ist a =r b mod U, so ist ab -1 E U. Weil U eine Unter-1 gruppe ist, ist ba ab -1 E -1 -1 = (ab) E U. Also ist b =r a mod U. c) Sird schlieBlich a,b,c E G, ist a =r b mod U und b =r c mod U, so ist U und bc-1 E U. Daher ist ac -1 = ab -1bc -1 E U. Auch hierbei benutzten wir, daR> U eine Untergruppe ist.

1 ist D also eine Untergruppe von G, q. e. d. Es sei G eine Gruppe und M sei eine Teilmenge von G. Mit (M) bezeichnen wir den llirchschnitt Uber alle Untergruppen U von G, rur die M S;;; U gilt. 1 ist eine Untergruppe von G. Sie hei£t die von M erzeugte Untergruppe von G oder auch das Erzeugnis von M. Ist M = 0, so ist (M) <{rn1'''''~}) = <~, ... ,~>. 2.

Was C1T bedeutet, wird nieht ein f'Ur allemal festgelegt, sorrlern ist immer aus dem Zusammenhang zu ersehlieBen. 1. Satz. cr sei eine Abbildung der Menge M in die Menge N urrl T sei eine Abbildung von N in M. Ist crT Beweis. Weil i~ = ~, so ist 0' injektiv. eine Abbildung von M in Mist, kann crT nur heiBen: erst cr, dann T. 1 zu beweisen, werden wir also zweekrrl1:iBigerweise die Abbildungen reehts von 24 den Elementen schreiben, auf die sie wirken, obgleich das, wie wir oben gesehen haben, nicht notwendig ist.